Question

什么是齐次线性方程组？

Answer 1

齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。
　　微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：
　　1、形如y'=f(y/x)的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次项，而y/x算0次项，方程y'=1+y/x中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。
　　2、形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是一次），而方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'',……的0次项，因而就要称为“非齐次线性方程”。
　　另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如f=ax^2+bxy+cy^2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项
齐次线性方程组是指有几个齐次线形方程组成的方程组。
可以,直接对非齐次线性方程组用高斯消元法解,即对增广矩阵用初等行变换化为阶梯阵,再分析系数矩阵和增广矩阵的秩,必须两者相等,再继续求出全部解(一组或无穷多组)

Answer 2

齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组
1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解.

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解.

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解.

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解.

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零.

Answer 3