Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的序号是 ．

Answer 1

①②③④.

试题分析：如解答图所示： 结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可； 结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF； 结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等； 结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等． 试题解析：（1）结论①正确．理由如下： ∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°， ∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN， ∴∠5=∠6， ∴AM=AE=BF． 易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC． 在△ACM与△ABF中， ， ∴△ACM≌△ABF（SAS）， ∴CM=AF； （2）结论②正确．理由如下： ∵△ACM≌△ABF， ∴∠2=∠4， ∵∠2+∠6=90°， ∴∠4+∠6=90°， ∴CE⊥AF； （3）结论③正确．理由如下： 证法一：∵CE⊥AF， ∴∠ADC+∠AGC=180°， ∴A、D、C、G四点共圆， ∴∠7=∠2， ∵∠2=∠4， ∴∠7=∠4， 又∵∠DAH=∠B=45°， ∴△ABF∽△DAH； 证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2， ∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点． 在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点， ∴NG=AG， ∴∠MNG=∠3， ∴∠DAG=∠CNG． 在△ADG与△NCG中， ， ∴△ADG≌△NCG（SAS）， ∴∠7=∠1， 又∵∠1=∠2=∠4， ∴∠7=∠4， 又∵∠DAH=∠B=45°， ∴△ABF∽△DAH； （4）结论④正确．理由如下： 证法一：∵A、D、C、G四点共圆， ∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°， ∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC． 证法二：∵AM=AE，CE⊥AF， ∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2 则∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°． ∵△ADG≌△NCG， ∴∠DGA=∠CGN=45°= ∠AGC， ∴GD平分∠AGC． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．