Question

已知数列{an}满足a1=a，a2=2，Sn是数列的前n项和，且Sn＝n(an+3a1)2（n∈N*）．（1）求实数a的值；（2）

已知数列{an}满足a1=a，a2=2，Sn是数列的前n项和，且Sn＝n(an+3a1)2（n∈N*）．（1）求实数a的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）对于数列{bn}，若存在常数M，使bn＜M（n∈N*），且limn→∞bn＝M，则M叫做数列{bn}的“上渐近值”．设tn＝Sn+2Sn+1+Sn+1Sn+2?2（n∈N*），Tn为数列{tn}的前n项和，求数列{Tn}的上渐近值．

Answer 1

（1）∵a1＝a，a2＝2，Sn＝

n(an+3a1)

2

(n∈N*)，∴S1＝

a1+3a1

2

，a1＝2a1，即a1＝0．（2分）∴a=0．（3分）
（2）由（1）可知，Sn＝

nan

2

，2Sn＝nan(n∈N*)．
∴2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）．
∴2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，（n-2）a_n=（n-1）a_n-1．（5分）
∴

an

n?1

＝

an?1

n?2

(n≥3，n∈N*)．（6分）
因此，

an

n?1

＝

an?1

n?2

═

a2

1

，an＝2(n?1)(n≥2)．（8分）
又a₁=0，∴数列{a_n}的通项公式a_n=2（n-1）（n∈N^*）．（10分）
（3）由（2）有，Sn＝

nan

2

＝n(n?1)(n∈N*)．于是，tn＝

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

?2
=

(n+2)(n+1)

(n+1)n

+

(n+1)n

(n+2)(n+1)

?2
=

2

n

?

2

n+2

(n∈N*)．（12分）
∴T_n=t₁+t₂+…+t_n
=(

2

1

?

2

3

)+(

2

2

?

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