Question

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC中，AB=

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）①AF=AG= AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： ．

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Answer 1

解： ●操作发现：①②③④。 ●数学思考：答：MD=ME，MD⊥ME， 证明如下： １、MD=ME： 如图，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG， ∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MF= AC。 又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线， ∴EG⊥AC且EG= AC。 ∴MF=EG。 同理可证DF=MG。 ∵MF∥AC，∴∠MFA＋∠BAC=180 0 。 同理可得∠MGA+∠BAC=180 0 。 ∴∠MFA=∠MGA。 又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90 0 。 同理可得∠DFA=90 0 。 ∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG。 又MF=EG，DF=MG，∴△DFM≌△MGE（SAS）。∴MD=ME。 2、MD⊥ME： ∵MG∥AB，∴∠MFA+∠FMG=180 0 。 又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF。 ∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180 0 。 ∵∠MFA+∠FMD+∠MDF=90 0 ，∴∠DME=90°，即MD⊥ME。 ●类比探究：答：等腰直角三解形。

试题分析：（1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45 0 也正确。 （2）受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=90 0 ，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90 0 。 （3）在（2）的基础易知为等腰直角三解形。