Question

已知等比数列{an}的公比为q，Sn是{an}的前n项和．（1）若a1=1，q≥1，求limn→∞anSn的值；（2）若a1=1，

已知等比数列{an}的公比为q，Sn是{an}的前n项和．（1）若a1=1，q≥1，求limn→∞anSn的值；（2）若a1=1，|q|＜1，Sn有无最值？并说明理由．（3）设q＝1t，若首项a1和t都是正整数，t满足不等式：|t-63|＜62，且对于任意正整数n有9＜Sn＜12成立，问：这样的数列{an}有几个？

Answer 1

（1）当q=1时，S_n=na₁，a_n=a₁，∴

lim

n→∞

an

Sn

＝

lim

n→∞

a1

na1

=0
当q＞1时，Sn＝

a1(1?qn)

1?q

，

an

Sn

=

(1?q)qn?1

1?qn

，

lim

n→∞

an

Sn

＝

q?1

q

∴

lim

n→∞

an

Sn

＝

q?1

q

（q≥1）；
（2）若a₁=1，|q|＜1，则Sn＝

1?qn

1?q

当0＜q＜1时，Sn＝

1

1?q

?

qn

1?q

，所以S_n随n的增大而增大，而S1≤Sn＜

1

1?q

，此时S_n有最小值1，但无最大值；
当-1＜q＜0时，①n=2k，k∈N₊时，Sn＝

1

1?q

?

(q2)k

1?q

，所以S_n随k的增大而增大，即n是偶数时，S2≤Sn＜

1

1?q

，即1+q≤Sn＜

1

1?q

；
②n=2k-1，k∈N₊时，S