Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠BDA+∠CDE=135°．
又∠BDA+∠BAD=135°，
∴∠BAD=∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

＝

BD

CE

；
∵BD=x，
∴CD=BC-BD=

2

-x．
∴

1

2 ?x

＝

x

CE

，
∴CE=

2

x-x²．
∴AE=AC-CE=1-（

2

x-x²）=x²-

2

x+1．
即y=x²-

2

x+1．

（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD=AB=1．
∴BD=

2

-1．
∵BD=CE，
∴AE=AC-CE=2-

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