Question

已知数列{an}，其中a1=2，an-an-1=2n-1（n≥2，n∈N*）（1）求{an}的通项公式；（2）若数列bn=2log2an-1

已知数列{an}，其中a1=2，an-an-1=2n-1（n≥2，n∈N*）（1）求{an}的通项公式；（2）若数列bn=2log2an-1，记数列{2bnbn+1}的前n项和为Sn，求使Sn＞910成立的最小正整数n的值．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}，其中a₁=2，a_n-a_n-1=2^n-1（n≥2，n∈N^*）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2+2²+2^n-1
=2+

2(1?2n?1)

1?2

=2ⁿ．
（2）b_n=2log₂a_n-1=2n-1，
∴

2

bnbn+1

=

2

(2n?1)(2n+1)

=

1

2n?1

?

1

2n+1

，
∴S_n=1-

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

，
∵S_n＞

9

10

，∴

2n

2n+1

＞

9

10

，
解得n＞

9

2

，∵n∈N^*，∴使S_n＞

9

10

成立的最小正整数n的值为5．