Question

已知函数f（x）=x4+（a-x）x2+（5-a）对任意实数x恒为正值，求实数a的取值范围

已知函数f（x）=x4+（a-x）x2+（5-a）对任意实数x恒为正值，求实数a的取值范围．

Answer 1

令f′（x）=4x³-3x²+2ax=0，得x=0或4x²-3x+2a=0
当x=0时f（x）=5-a＞0得a＜5；
当4x²-3x+2a=0，当a≤

9

32

时即x=

3± 9?32a

8

；当a＞

9

32

，方程无解．
当x＞

3+ 9?32a

8

或x＜

3? 9?32a

8

时，f′（x）＞0，函数为增函数；当

3+ 9?32a

8

＞x＞

3? 9?32a

8

时，函数为减函数，因为函数f（x）=x⁴+（a-x）x²+（5-a）对任意实数x恒为正值则f（x）_min=f（

3+ 9?32a

8

）＞0；
所以a＜5时，函数对任意实数x恒为正数．