Question

已知函数f(x)＝kx2 ex ，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x＞0，使1n

已知函数f(x)＝kx2 ex ，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数的定义域为R，求导函数可得f′(x)＝

?kx(x?1)

ex

当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调减区间为（0，2）；
当k＜0时，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（-∞，0），（2，+∞）；
（2）当k=1时，f(x)＝

x 2

e x

，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等价于a＜

2lnx?x

x

设g（x）=

2lnx?x

x

（x＞0）
存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）_max，
g′(x)＝

2(1?lnx)

x2

，当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
∴g（x）_max=g（e）=

2

e

?1
∴a＜

2

e

?1．