Question

已知a＞0，b＞0，a+b=1，则下列结论正确的有______．①ba+ab＞2；②ab的最大值为14；③a2+b2的最小值为12

已知a＞0，b＞0，a+b=1，则下列结论正确的有______．①ba+ab＞2；②ab的最大值为14；③a2+b2的最小值为12；④1a+4b的最大值为9；⑤a（2b-1）的最大值为18．

Answer 1

∵a＞0，b＞0，a+b=1，
对于①，

b

a

+

a

b

≥2

b a ? a b

＝2．①错误；
对于②，∵1＝a+b≥2

ab

，
∴ab≤

1

4

．即ab的最大值为

1

4

．②正确；
对于③，a2+b2＝(a+b)2?2ab＝1?2ab≥1?

1

2

＝

1

2

．
∴a²+b²的最小值为

1

2

．命题③正确；
对于④，

1

a

+

4

b

=(

1

a

+

4

b

)(a+b)＝1+

b

a

+4+

4a

b

≥5+2

b a ? 4a b

=9．
当且仅当

2a＝b a+b＝1

，即a=

1

3

，b=

2

3

时上式取等号．命题④正确；
对于⑤，a（2b-1）=（1-b）（2b-1）=-2b²+3b-1，
当b＝

3

4

，a＝

1

4

时，a（2b-1）的最大值为

5

8

．命题⑤错误．
故正确的命题是②③④．
故答案为：②③④．