已知双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为233，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使
已知双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为233，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）...
已知双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为233，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线 l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，证明：点Q总在某定直线上．
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（1）∵双曲线
?
＝1（a＞0，b＞0）的离心率为
，
∴
＝
．即a2=3b2． ①
∵MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为1．
∴S△MF1F2＝
|MF1||MF2|＝1，即|MF1||MF2|=2．
∵||MF1|-|MF2||=2a，
∴|MF1|2-2|MF1||MF2|+|MF2|2=4a2．
∴|F1F2|2-4=4a2．
∴4（a2+b2）-4=4a2，∴b2=1． ②
将②代入①，得a2=3．
∴双曲线C的方程为
?y2＝1．
（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，又设直线l的倾斜角为θ(θ≠
)，分别过点P，Q，A，B作x轴的垂线，垂足分别为P1，Q1，A1，B1，
则 |AP|＝
＝
，|PB|＝
＝
，|QB|＝
＝
，|AQ|＝
＝
，
∵|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，
∴（3-x1）（x2-x）=（x-x1）（3-x2），
即[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．③
设直线l的方程为y-1=k（x-3），④
将④代入
?y2=1中整理，得
（1-3k2）x2-6k（1-3k）x-3[（1-3k）2+1]=0．
依题意x1，x2是上述方程的两个根，且1-3k2≠0，
∴
⑤
将⑤代入③整理，得x-2=k（x-3）．⑥
由④、⑥消去k得x-2=y-1，这就是点Q所在的直线方程．
∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，
∵|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，
∴
＝?
，即
＝?
，
即[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．
以下同解法1．
解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），
由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记
PBAQxyλ＝
＝
．
∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支
相交于两点A，B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四点共线，
∴
＝?λ
，
＝λ
．
即
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
2
| ||
| 3 |
∴
| ||
| a |
2
| ||
| 3 |
∵MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为1．
∴S△MF1F2＝
| 1 |
| 2 |
∵||MF1|-|MF2||=2a，
∴|MF1|2-2|MF1||MF2|+|MF2|2=4a2．
∴|F1F2|2-4=4a2．
∴4（a2+b2）-4=4a2，∴b2=1． ②
将②代入①，得a2=3．
∴双曲线C的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，又设直线l的倾斜角为θ(θ≠
| π |
| 2 |
则 |AP|＝
| |A1P1| |
| |cosθ| |
| 3?x1 |
| |cosθ| |
| |P1B1| |
| |cosθ| |
| 3?x2 |
| |cosθ| |
| |Q1B1| |
| |cosθ| |
| x2?x |
| |cosθ| |
| |A1Q1| |
| |cosθ| |
| x?x1 |
| |cosθ| |
∵|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，
∴（3-x1）（x2-x）=（x-x1）（3-x2），
即[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．③
设直线l的方程为y-1=k（x-3），④
将④代入
| x2 |
| 3 |
（1-3k2）x2-6k（1-3k）x-3[（1-3k）2+1]=0．
依题意x1，x2是上述方程的两个根，且1-3k2≠0，
∴
|
将⑤代入③整理，得x-2=k（x-3）．⑥
由④、⑥消去k得x-2=y-1，这就是点Q所在的直线方程．
∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，
∵|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，
∴
| AP |
| PB |
| AQ |
| QB |
| 3?x1 |
| x2?3 |
| x?x1 |
| x2?x |
即[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．
以下同解法1．
解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），
由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记
PBAQxyλ＝
| |AP| |
| |PB| |
| |AQ| |
| |QB| |
∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支
相交于两点A，B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四点共线，
∴
| AP |
| PB |
| AQ |
| QB |
即
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