Question

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30°．（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第______秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=

1

2

∠BOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°；

（2）∵∠OMN=30°，
∴∠N=90°-30°=60°，
∵∠AOC=60°，
∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，
旋转角为90°或270°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为9或27，
直线ON恰好平分锐角∠AOC时，
旋转角为90°+30°=120°或270°+30°=300°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为12或30；
故答案为：9或27；12或30．

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=90°-∠AOM，
∠AON=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°．