Question

这个积分怎么积呢？？

Answer 1

令cosx＝u，则：∫√［1＋（cosx）^2］d（cosx）＝∫√（1＋u^2）du。
再令u＝tant，则：du＝［1/（cost）^2］dt。
∴∫√［1＋（cosx）^2］d（cosx）
＝∫√［1＋（tant）^2］［1/（cost）^2］dt
＝∫［1/（cost）^3］dt
＝∫［cost/（cost）^4］dt
＝∫［1/（cost）^4］d（sint）
＝∫｛1/［1－（sint）^2］^2｝d（sint）。

令sint＝y，则：
∫√［1＋（cosx）^2］d（cosx）
＝∫［1/（1－y^2）^2］dy
＝（1/4）∫［1/（1－y）＋1/（1＋y）］^2dy
＝（1/4）∫［1/（1－y）^2］dy＋（1/2）∫［1/（1－y^2）］dy＋（1/4）∫［1/（1＋y）^2］dy
＝（1/4）/（1－y）－（1/4）/（1＋y）＋（1/4）∫［1/（1－y）＋1/（1＋y）］dy
＝（1/4）［（1＋y）－（1－y）］/（1－y^2）－（1/4）ln｜1－y｜＋ln｜1＋y｜＋C
＝（1/2）y/（1－y^2）＋（1/4）ln｜（1＋y）/（1－y）｜＋C
＝（1/2）sint/［1－（sint）^2］＋（1/4）｜（1＋sint）/（1－sint）｜＋C
＝（1/2）tant/cost＋（1/4）ln｜（1＋sint）^2/（cost）^2｜＋C
＝（1/2）u√［1＋（tant）^2］＋（1/2）ln［（1/cost＋tant］＋C
＝（1/2）u√（1＋u^2）＋（1/2）ln｛√［1＋（tant）^2］＋u｝＋C
＝（1/2）cosx√［1＋（cosx）^2］＋（1/2）ln｛√［1＋（cosx）^2］＋cosx｝＋C。

Answer 2

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