Question

已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD ∥ BC；④∠O

已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD ∥ BC；④∠OAD=∠ODA．请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论．（1）写出一个真命题，并证明；（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明（无需证明）．

Answer 1

（1）如：若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD ∥ BC，则四边形ABCD是菱形． 证明：如图，设AC与BD交于上点O． ∵AC平分BD ∴BO=DO ∵AD ∥ BC， ∴∠ADO=∠CBO 在△AOD和△COB中， ∵ ∠ADO=∠CBO BO=DO ∠AOD=∠COB ， ∴△AOD≌△COB（ASA） ∴AO=CO ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形； （2）如：若AC平分BD，AD ∥ BC，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形． 反例：如图，四边形ABCD为矩形．