Question

在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD．

在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD．（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60°时，∠CBD 的大小为______；（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20°时，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小为m（60°＜m＜120°），若∠CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．

Answer 1

（1）30°
（2）如图作等边△AFC，连结DF、BF．
∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA=40°．
∵∠ACD=20°，
∴∠DCB=20°．
∴∠DCB=∠FCB=20°．①
∵AC=CD，AC=FC，
∴DC=FC．②
∵BC=BC，③
∴由①②③，得△DCB≌△FCB，
∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．
∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，
∴∠BAF=40°．
∵∠ACD=20°，AC=CD，
∴∠CAD=80°．
∴∠DAF=20°．
∴∠BAD=∠FAD=20°．④
∵AB=AC，AC=AF，
∴AB=AF．⑤
∵AD=AD，⑥
∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．
∴FD=BD．
∴FD=BD=FB．
∴∠DBF=60°．
∴∠CBD=30°．
（3）由（1）知道，若∠BAC=100°，α=60°时，则∠CBD=30°；
①由（1）可知，设∠α=60°时可得∠BAD=m-60°，∠ABC=∠ACB=90°-

m

2

，
∠ABD=90°-

1

2

∠BAD=120°-

m

2

，
∠CBD=∠ABD-∠ABC=30°．
②由（2）可知，翻折△BDC到△BD₁C，则此时∠CBD₁=30°，
∠BCD=60°-∠ACB=

m

2

-30°，
∠α=∠ACB-∠BCD₁=∠ACB-∠BCD=90°-

m

2

-（

m

2

-30°）=120°-m，
③以C为圆心CD为半径画圆弧交BD延长线于D₂，连接CD₂，
∠CDD₂=∠CBD+∠BCD=30°+

m

2

-30°=

m

2

，
∠DCD₂=180°-2∠CDD₂=180°-m
∠α=60°+∠DCD₂=240°-m．
综上所述，α为60°或120°-m或240°-m时∠CBD=30°．