Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N，设AP=x。 （1）在△ABC中，AB=____；（2）当x=____时，矩形PMCN的周长是14；（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。

Answer 1

解：（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6， ∴ ； （2）5； （3））∵PM⊥AC，PN⊥BC， ∴∠AMP=∠PNB=90°， ∴AC∥PN， ∴∠A=∠NPB， ∴△AMP∽△PNB∽△ABC， ∴由AP=x， ∴ ， ，PB=10-x， ， ， 若存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等， 则有 ， 即2MP=BN，2NP=AM， 且 ， 即3x=10，此时 ， ∴存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的 的值。