Question

在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=2an+1+an?1，n∈N*．（Ⅰ）记bn=（an?12）2，n∈N*，证明{bn}

在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=2an+1+an?1，n∈N*．（Ⅰ）记bn=（an?12）2，n∈N*，证明{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）问：数列{an}中是否存在正整数项？请做出判断并说明理由．

Answer 1

（I）∵a_n+1-a_n=

2

an+1+an?1

，
∴an+12?an2-a_n+1+a_n=2，即(an+1?

1

2

)2?(an?

1

2

)2＝2．
由已知b_n=（a_n?

1

2

）²，∴b_n+1-b_n=2，
故数列{b_n}是以(a1?

1

2

)2为首项，以2为公差的等差数列．
∴(an?

1

2

)2=(a1?

1

2

)2+2（n-1）=

8n?7

4

（n∈N^*）．
∵a_n≥1，∴an＝

1+ 8n?7

2

（n∈N^*）．
（II）数列{a_n}中存在正整数项．
令a_m=k（m，k∈N^*），即

1+ 8m?7

2

=k，解得m=

k2?k

2

+1．
∵对于正整数k，k²-k=k（k-1）必为非负偶数，
∴

k2?k

2

+1∈N^*，即数列{a_n}中存在正整数项．