Question

（2014?无锡）如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y

（2014?无锡）如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为-1，AC：BC=3：1．（1）求点A的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

Answer 1

（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．
∵AC：BC=3：1，
∴

BC

AB

=

1

4

．
∵CM∥OA，
∴△BCM∽△BAO，
∴

CM

OA

=

BC

AB

=

1

4

=

BM

OB

，
∴OA=4CM=4，
∴点A的坐标为（-4，0）；

（2）∵二次函数y=ax²+bx（a＜0）的图象过A点（-4，0），
∴16a-4b=0，
∴b=4a，
∴y=ax²+4ax，对称轴为直线x=-2，
∴F点坐标为（-2，-4a）．
设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（-4，0）代入，
得-4k+n=0，
∴n=4k，
∴直线AB的解析式为y=kx+4k，
∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（-2，2k），C点坐标为（-1，3k）．
∵C（-1，3k）在抛物线y=ax²+4ax上，
∴3k=a-4a，
∴k=-a．
∵△AED中，∠AED=90°，
∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，
∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD∽△AED．
∵F（-2，-4a），C（-1，3k），D（-2，2k），k=-a，
∴FC²=（-1+2）²+（3k+4a）²=1+a²，CD²=（-2+1）²+（2k-3k）²=1+a²，
∴FC=CD，
∴△FCD是等腰直角三角形，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∴∠OBA=45°，
∴OB=OA=4，
∴4k=4，
∴k=1，
∴a=-1，
∴此二次函数的关系式为y=-x²-4x．