Question

设随机变量X~(0,1)，那么，（1）求Y=e^x的概率密度

Answer 1

X~N(0,1)，y=e^(-x) y>0
X的密度函数是fX(x)=1/√2π*e^(-x^2/2)
那么
FY(y)=P(Y<=y)=P(e^(-x)<=y)=P(x>=-lny)=1-P(x< -lny)
=1-FX(-lny) FX(x) FY(y)表示XY的分布函数
所以y的密度函数是：
fY(y)=FY'(y)=(1-FX(-lny))'=(-1)*(FX(-lny)'*(-lny)'
=(-1)*fX(-lny)*(-1/y)
=1/y*1/√2π*e^(-(-lny)^2/2)
=1/y*1/√2π*e^((lny)^2/2) y>0

Answer 2

X~N(0,1)，y=e^(-x)
y>0
X的
密度函数
是fX(x)=1/√2π*e^(-x^2/2)
那么
FY(y)=P(Y<=y)=P(e^(-x)<=y)=P(x>=-lny)=1-P(x<
-lny)
=1-FX(-lny)
FX(x)
FY(y)表示XY的
分布函数
所以y的密度函数是：
fY(y)=FY'(y)=(1-FX(-lny))'=(-1)*(FX(-lny)'*(-lny)'
=(-1)*fX(-lny)*(-1/y)
=1/y*1/√2π*e^(-(-lny)^2/2)
=1/y*1/√2π*e^((lny)^2/2)
y>0