Question

初三数学，求解答

抛物线y=ax2+bx+c交x轴于AB两点,交y轴于点C顶点为D,已知：D（-1，-4），A（-3，0）.
求抛物线y=ax2+bx+c的解析式
判断三角形ACD的形状，并说明理由
在线段AC上是否存在点M，使以点A、O、M为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：由于D（-1，-4）、A（-3，0）在抛物线上，根据抛物线的对称性可知点B的坐标是B(1，0)，把A、B、D三点坐标分别代入方程得
a-b+c=－4；①
9a－3b+c=0; ②
a+b+c=0. ③
③-①得b=2，④
把④代入①得a+c=－2，⑤
把④代入②得9a+c=6, ⑥
⑥－⑤得a=1,
把a=1代入⑤得c=－3.
故抛物线的解析式为y=x²+2x－3.
所以点C的坐标为C(0,-3).

AD²=20，AC²=18，CD²=2，AC²+CD²=20=AD²，所以△ACD是直角三角形。

AB=4，AC=2√3，BC=√10，其中AB最大，所以存在△AOM与△ABC相似。
AM/AO=AC/AB,AM=AO×AC/AB=3×2√3/4=3√3/2,AM/AC=(3√3/2)/(2√3)=3/4,所以点M的横坐标为－3+3×3/4=－3/4,纵坐标为－3×3/4=－9/4,即M(－3/4,－9/4)。

追问

点M有两种情况，另一种怎么求？