Question

已知F1 F2 是椭圆的两个焦点 ，P椭圆上一点，角F1PF2为60度 求椭圆的离心率的范围

Answer 1

∵当P在Y轴上时∠F1PF2最大
∴P在Y轴上时∠F1PF2≥60°，则∠OPF1≥30°
sin∠OPF1≥sin30°=1/2
则e＝c/a＝sin∠OPF1≥sin30°=1/2
∵椭圆离心率小于1
∴1/2≤e<1

Answer 2

当P在短轴端点时，角F1PF2最大
设B是短轴端点
则角F1BF2>=60

O是椭圆中心
则OB=b
F1O=F2O=c
F1F2=2c
所以F1B=F2B=√(c²+b²)=a
余弦定理
cos角F1BF2=(a²+a²-4c²)/2a²=1-2(c²/a²)=1-2e²
角F1BF2>=60
所以-1<cos角F1BF2<=cos60=1/2
所以-1<1-2e²<=1/2
1/2<=2e²<2
1/4<=e²<1
所以1/2≤e<1