Question

已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）图象的对称轴

已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程和单调递减区间；（2）若函数g（x）=f（x）-f（ π 4 -x），求函数g（x）在区间[ π 8 ， 3π 4 ]上的最小值和最大值．

Answer 1

f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx= 2 sin（2ωx- π 4 ）． 由于函数f（x）的最小正周期为T= 2π 2ω =π，故ω=1，即函数f（x）= 2 sin（2x- π 4 ）． （1）令2x- π 4 =kπ+ π 2 （k∈Z），得x= kπ 2 + 3π 8 （k∈Z）， 即为函数f（x）图象的对称轴方程． 令 π 2 +2kπ≤2x- π 4 ≤ 3π 2 +2kπ（k∈Z），得 3π 8 +kπ≤x≤ 7π 8 +kπ（k∈Z）， 即函数f（x）的单调递减区间是[ 3π 8 +kπ， 7π 8 +kπ]（k∈Z）． （2）g（x）=f（x）-f（ π 4 -x）= 2 sin（2x- π 4 ）- 2 sin[2（ π 4 -x）- π 4 ]=2 2 sin（2x- π 4 ）， 由于x∈[ π 8 ， 3π 4 ]，则0≤2x- π 4 ≤ 5π 4 ， 故当2x- π 4 = π 2 即x= 3π 8 时函数g（x）取得最大值2 2 ，当2x- π 4 = 5π 4 即x= 3π 4 时函数g（x）取得最小值-2．