Question

设函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0且f 2 （x+1）+f 2 （x）=9．已知当x∈[0，1]时，有f（x）=2-

设函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0且f 2 （x+1）+f 2 （x）=9．已知当x∈[0，1]时，有f（x）=2-|4x-2|，则 f( 2013 6 ) 的值为______．

Answer 1

∵f 2 （x+1）+f 2 （x）=9，即 f 2 （x+1）=9-f 2 （x）， ∴f 2 （x+2）=9-f 2 （x+1），化简可得 f 2 （x+2）=9-[9-f 2 （x）]=f 2 （x）． 再由 函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0，可得 f（x+2）=f（x），故函数是周期为2的周期函数． ∴ f( 2013 6 ) =f（336- 1 2 ）=f（- 1 2 ）． 又 f 2 （- 1 2 ）=9- f 2 (- 1 2 +1) =9-f 2 （ 1 2 ）， 再由当x∈[0，1]时，有f（x）=2-|4x-2|，可得f（ 1 2 ）=2-|4× 1 2 -2|=2， 故 f 2 （- 1 2 ）=9-f 2 （ 1 2 ）=9-4=5，故f（- 1 2 ）= 5 ， 故 f( 2013 6 ) =f（- 1 2 ）= 5 ， 故答案为 5 ．