Question

已知函数f(x)=x+ ，g(x)=x+lnx，其中a＞0． (Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a的值；(Ⅱ)

已知函数f(x)=x+ ，g(x)=x+lnx，其中a＞0． (Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a的值；(Ⅱ)若对任意的x 1 ，x 2 ∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f(x 1 )≥g(x 2 )成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)因为 ，其定义域为 ， 所以， ， 由x=1是函数h(x)的极值点，得 ，即3-a 2 =0， 又由a＞0，得 ， 经检验，当 时，x=1是函数h(x)的极值点， 所以， 。 (Ⅱ)若对任意的 都有 成立等价于 对任意的 都有 ， 当 时， ，所以函数g(x)在 上是增函数， 所以， ， 又由 ，且 ，a＞0， （1）当0＜a＜1且 时， ， 所以函数f(x)在 上是增函数， 所以， ， 由 ，得 ， 又由0＜a＜1知a不合题意，舍去； （2）当 时， 若 ，则 ； 若 ，则 ， 所以函数f(x)在 上是减函数，在 上是增函数， 所以， ， 由 ，得 ， 又 ，所以， ； （3）当a＞e且 时， ， 所以函数f(x)在 上是减函数， 所以， ， 由 ，得 ， 又 ，所以 ； 综上所述，a的取值范围是 。