Question

如图，直线y=x-3于x轴、y轴分别交于B、C；两点，抛物线y=x2+bx+c同时经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另

如图，直线y=x-3于x轴、y轴分别交于B、C；两点，抛物线y=x2+bx+c同时经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在线段BC上，且S△PAC=12S△PAB，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵点B在x轴上，
∴0=x-3，
∴x=3，
∴点B的坐标为（3，0）；
∵点C在y轴上，
∴y=0-3=-3．
∴点C的坐标为（0，-3）；（1分）
∵抛物线y=x²+bx+c经过B（3，0）、C（0，-3），
∴

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：b=-2，c=-3；（3分）
∴此抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3．（4分）

（2）解法一：
过点P作PM⊥OB于点M；
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）
∴OB=OC=3（5分）
∵S_△PAC=

1

2

S_△PAB，
∴S_△PAB=

2

3

S_△ABC；（6分）
∵S_△ABC=

1

2

×AB×OC，S_△PAB=

1

2

×AB×PM，
∴

1

2

×AB×PM=

2

3

×

1

2

×AB×OC，
∴PM=

2

3

OC=2；（7分）
解法二：也可以先求出AB=4，再求△ABC的面积，然后利用S_△PAB=

2

3

S_△ABC求出PM的长．
求点P有两种以上的解法：
法一：由于点P在第四象限，可设点P（x_P，-2）；
∵点P在直线y=x-3上，
∴-2=x_P-3，
∴x_P=1；（7分）
∴点P的坐标为（1，-2）．（8分）
法二：∵PM⊥OB，OC⊥OB，
∴PM∥OC；
∴

BM

BO

=

PM

OC

=

2

3

，
∴BM=

2

3

×3=2；（7分）
∴OM=1
∴点P的坐标为（1，-2）．（8分）
（说明：其它解法可参照上述给分）