Question

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8，M，N，P分别是A1B1，AD，B B1的中点．（1）画出过点M，N，P的平面

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8，M，N，P分别是A1B1，AD，B B1的中点．（1）画出过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线以及与平面BB1C1C的交线；（2）设平面PMN与棱BC交于点Q，求PQ的长．

Answer 1

（1）如图所示：∵MP?平面ABB₁，
∴MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB₁与底面ABCD的交线AB上，
∴过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线是NK，（K在线段AB的延长线上），与平面BB₁C₁C的交线是PQ（Q在线段BC上）．∵BK∥A₁B₁，
∴

BK

MB1

＝

BP

PB1

＝1，∴BK=4．
∵BQ∥AN，∴

BK

AK

＝

BQ

AN

＝

1

3

，
∴BQ=

4

3

．
（2）由（1）可知：BQ=

4

3

，BP=4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ=

42+( 4 3 )2

=

4

3

10

．