Question

已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积

已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为22，a=3，求b，c的长．

Answer 1

（Ⅰ）由正弦定理化简3bcosA=ccosA+acosC化简得：3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，
整理得：3sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=

1

3

；
（Ⅱ）∵cosA=

1

3

，A为三角形内角，
∴sinA=

1?cos2A

=

2 2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

3

bc=2

2

，即bc=6①，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

3

bc，即9=（b+c）²-2bc-

2

3

bc，
把bc=6代入得：b+c=5②，
联立①②，解得：b=2，c=3或b=3，c=2．

Answer 2

（Ⅰ）由正弦定理化简3bcosA=ccosA+acosC得：
3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，
整理得：3sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=1/3
（Ⅱ）∵cosA=1/3,且A为三角形内角。
∴sinA=(1−cos^2A)^1/2
=(1-1/9)^1/2
=（2倍根号2）/3

∴S△ABC=1/2bcsinA=2倍根号2
即bc=6
由余弦定理得：a^2=b^2+c^2-2bccosA
=b^2+c^2-(2/3)bc
即 9=（b+c）^2-2bc-(2/3)bc
把bc=6代入得：b+c=5
解得b=2，c=3
或b=3，c=2