Question

已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．（1）求证：四边形MNA1C1是梯形；（2）

已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．（1）求证：四边形MNA1C1是梯形；（2）求证：∠DNM=∠D1A1C1．

Answer 1

解答：证明：（1）连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是棱CD，AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN=

1

2

AC．由正方体的性质得：AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁．
∴MN∥A₁C₁，且MN=

1

2

 A₁C₁，即MN≠A₁C₁，
∴四边形MN A₁C₁是梯形．
（2）由（1）可知MN∥A₁C₁，又∵ND∥A₁D₁，
∴∠DNM与∠D₁A₁C₁相等或互补，而∠DNM与∠D₁A₁C₁均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM=∠D₁A₁C₁