Question

设函数u（x，y）在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足?2u?x?y≠0及?2u?x2+?2u?y2＝0

设函数u（x，y）在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足?2u?x?y≠0及?2u?x2+?2u?y2＝0．结论：①u（x，y）在 D的内部有驻点；②u（x，y）在 D的内部有极值；③u（x，y）在 D的边界上有最大值；④u（x，y）在 D的边界上有最小值．则这4个结论中正确的是（　　）A．①②B．②③C．③④D．④①

Answer 1

①不一定成立，②是错误的：
如果u（x，y）在D的内部有极值，不妨设在点P₀（x₀，y₀）取得极值，则

?u

?x

|P0=

?u

?y

|P0=0，且

?2u

?x2

|P0?

?2u

?y2

|P0-（

?2u

?x?y

|P0）²＞0．（1）
另一方面，
因为

?2u

?x2

+

?2u

?y2

=0，
所以

?2u

?x2

=-

?2u

?y2

．
又因为

?2u

?x?y

≠0，
从而，

?2u

?x2

|P0?

?2u

?y2

|P0-（

?2u

?x?y

|P0）²
=-（

?2u

?y2

|P0）²-（

?2u

?x?y

|P0）²＜0，
与（1）矛盾，故u（x，y）在D的内部没有极值，②错误．
①选项难以判断其是否成立：u（x，y）在D的内部可以有驻点，但是驻点不能是极值点．
③正确：
函数u（x，y）在有界闭区域D上连续，故u（x，y）在D上存在最大值．
如果u（x，y）在区域D内某点P₀（x₀，y₀）处取的最大值，则必为极大值点．由②的分析可知，u（x，y）在区域D内没有极值点，故最大值只能在边界上取到．
④正确：类似于③的分析可以证明．
综上，选项③④正确．
故选：C．

Answer 2

是y=x^2/x^3吗，是那么就有化简y=1/x,导数为y`=-1/x^2