Question

设a,b,c是互不相等的三个实数，如果A（a,a³）,B（b,b³）,C（c,c³）在同一条直线上

设a,b,c是互不相等的三个实数，如果A（a,a³）,B（b,b³）,C（c,c³）在同一条直线上，求证：a+b+c=0

Answer 1

因为A,B和C在同一条直线上，我们取任意两点，所得到的斜率应该一样的，不妨取A,C 和 A,B 来计算斜率
由A,C算得的斜率为 k1=(c^3-a^3)/(c-a)
由A,B算得的斜率为 k2=(b^3-a^3)/(b-a)
因为k1=k2，所以
(c^3-a^3)/(c-a)=(b^3-a^3)/(b-a)……①
由立方差公式
c^3-a^3=(c-a)*(c^2+c*a+a^2),我们可以知道(c^3-a^3)/(c-a)=c^2+c*a+a^2
因此，由①得
c^2+c*a+a^2=b^2+b*a+a^2
c^2-b^2=b*a-c*a
(c-b)*(c+b)=(b-c)*a
c+b=-a
a+b+c=0 证毕

Answer 2

AC=kAB,得到1.c3-a3=k(b3-a3) 2.c-a=k(b-a)
1式利用立方差公式，（c-a)(c2+ac+a2)=k(b-a)(b2+ab+a2),两边用2式约去，c2-b2=a(b-c),再用平方差，约去b-c,得到a+b+c=0
望采纳！