Question

如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠BDC= 1 2 ∠ABD．（1）求证：

如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠BDC= 1 2 ∠ABD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OF ∥ AD分别交BD、CD于E、F，BD=2，求OE及CF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∵∠A=30°，∴∠ABD=60°． ∴∠BDC= 1 2 ∠ABD=30°． ∵OD=OB， ∴△ODB是等边三角形． ∴∠ODB=60°． ∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°． 即OD⊥DC． ∴CD是⊙O的切线； （2）∵OF ∥ AD，∠ADB=90°， ∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°． ∴DE=BE= 1 2 BD=1． 在Rt△OEB中，OB=2BE=2， OE= O B 2 -B E 2 = 3 ． ∵OD=OB=2，∠C=∠ABD-∠BDC=30°，∠DOF=30°， ∴CD=2 3 ，DF=OD?tan30°= 2 3 3 ． ∴CF=CD-DF=2 3 - 2 3 3 = 4 3 3 ．