Question

已知函数f（x）=e x （ax 2 +x+1）。（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）

已知函数f（x）=e x （ax 2 +x+1）。（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a=-1，证明：对 ，x 2 ∈[0，1]，都有｜f（x 1 ）-f（x 2 ）｜＜2。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ ， 令 ，得 ，注意到a>0， ∴当 时，f（x）在 上递增，在 上递减，在 上递增； 当 时，f（x）在 上递增；当 时，f（x）在 上递增， 在 上递减，在 上递增； （Ⅱ）∵a=-1， 由（Ⅰ） ， ∴f（x）在[0，1]单调增加， 故f（x）在[0，1]的最大值为 ，最小值为 ， 从而对任意 ，有 。

Answer 2

先对f（x）求导得到f'（x）=e^x(ax^2+x+1)+e^x(2ax+1);
令f'（x）=0,求得x1=-1/a;x2=-2,f'(x)大于0递增小于零递减.