Question

双曲线x2-y24=1的渐近线被圆x2+y2-6x-2y+1=0所截得的弦长为______

双曲线x2-y24=1的渐近线被圆x2+y2-6x-2y+1=0所截得的弦长为______．

Answer 1

解：由题得双曲线x²-

y2

4

=1的渐近线是：y=±2x
圆x²+y²-6x-2y+1=0的标准方程为：（x-3）²+（y-1）²=9
∴圆心（3，1），半径r=3．
∴（3，1）到直线y=2x的距离d=

|2×3?1|

22+1

＝

5

．
故有

l

2

＝

r2?d2

＝2，得到弦长l=4；
∵（3，1）到直线y=-2x的距离d=

|(?2)×3?1|

(?2)2+1

＝

7 5

5

＞r，此时圆于直线相离．
综上得：双曲线x²-

y2

4

=1的渐近线被圆x²+y²-6x-2y+1=0所截得的弦长为4．
故答案为：4．