Question

设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方

设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f（x）的极小值．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，
得f（2）=-2，且f′（x）=-3x²+4x-1，f′（2）=-5．…2分
所以，曲线y=-x（x-1）²在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．…3分
（2）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f′（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．…6分
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
①若a＞0，当x变化时，f′（x）的正负如下表：

x	（-∞， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=

a

3

处取得极小值f(

a

3

)，且f（

a

3

）=-

4

27

a3．…8分
②若a＜0，当x变化时，f′（x）的正负如下表：

x	（-∞，a）	a	（a， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0．…10分．