Question

已知函数f（x）=|xex+1|，若函数y=f2（x）+bf（x）+2恰有四个不同的零点，则实数b的取值范围是（　　）A

已知函数f（x）=|xex+1|，若函数y=f2（x）+bf（x）+2恰有四个不同的零点，则实数b的取值范围是（　　）A．(?∞，?22)B．（-3，-2）C．（-∞，-3）D．(?3，?22]

Answer 1

f（x）=|xe^x+1|=

x?ex+1，x≥0 ?x?ex+1，x＜0

，
当x≥0时，f′（x）=e^x+1+xe^x+1≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-e^x+1-xe^x+1=-e^x+1（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e^x+1（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e^x+1（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xe^x+1|的极大值为f（-1）=|（-1）e⁰|=1，
极小值为：f（0）=0，
令f（x）=m，由韦达定理得：m₁?m₂=1，m₁+m₂=-b，
此时若b＞0，则当m₁＜0，且m₂＜0，
此时方程f²（x）+bf（x）+2=0（t∈R）至多有两个实根，
若b＜0，则当m₁＞0，且m₂＞0，
要使方程f²（x）+bf（x）+2=0（t∈R）有四个实数根，
则方程m²+bm+2=0应有两个不等根，
且一个根在（0，1）内，一个根在（1，+∞）内，
再令g（m）=m²+bm+2，
因为g（0）=1＞0，
则只需g（1）＜0，即b+3＜0，解得：b＜-3．
所以，使得函数f（x）=|xe^x+1|，方程f²（x）+bf（x）+2=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，-3）．
故选：C