Question

已知z为复数，z+2i为实数，且（1-2i）?z为纯虚数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai

已知z为复数，z+2i为实数，且（1-2i）?z为纯虚数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）设z=m+bi，（m，b∈R）．
∵z+2i=m+（2+b）i为实数，且（1-2i）?z=m+2b+（b-2m）i为纯虚数，
∴2+b=0，m+2b=0，b-2m≠0，
解得b=-2，m=4．
∴z=4-2i．
（II）∵复数（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=12-a²+4a+（8a-16）i复平面上对应的点在第二象限，
∴

12?a2+4a＜0 8a?16＞0

，解得a＞6．
∴实数a的取值范围是a＞6．