Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)＝2x+1x2(x∈R)．（1）当x∈（

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)＝2x+1x2(x∈R)．（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

（1）当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），
∵当x∈[-1，0）时，f(x)＝2x+

1

x2

(x∈R)．
∴当-x∈[-1，0）时，f（-x）=-2x+

1

x2

，
∵y=f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
∴f（-x）=-2x+

1

x2

=-f（x），
即f（x）=2x-

1

x2

，
（2）任取0＜x₁＜x₂≤1，
则f(x1)?f(x2)＝2(x1?x2)+(

1

x1

)2?(

1

x2

)2
=2(x1?x2)+

(x1?x2)(x1+x2)

x1x2

=(x1?x2)(2+

x1+x2

x1x2

)，
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，2+

x1+x2

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，1]上的单调递增，为增函数．