Question

【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF．则

【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF．则DE，DF的数量关系为______．【拓展】如图2，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC．过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF．求证：DE=DF；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【探究】DE=DF．

【拓展】如图2，连接CD．
∵在△A B C中，C B=C A，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MAB=∠MBA，
∴AM=BM．
∵点 D是 边 AB的 中点，
∴点M在CD上，
∴CM平分∠FCE．
∴∠FCD=∠ECD．
∵ME⊥BC于E，MF⊥AC于F，
∴MF=ME．
在△CMF和△CME中，

MF＝ME ∠FCD＝∠ECD CM＝CM

∴△CMF≌△CME（SAS）．
∴CF=CE．
在△CFD与△CED中

CF＝CE ∠FCD＝∠ECD CD＝CD

∴△CFD≌△CED（SAS）．
∴DE=DF，

【推广】DE=DF．
如图3，作AM的中点G，BM的中点H．
∵点 D是 边 AB的 中点，
∴DG∥BM，DG＝

1

2

BM．
同理可得：DH∥AM，DH＝

1

2

AM．
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点，
∴在Rt△BEM中，HE＝

1

2

BM＝BH．
∴DG=HE，
同理可得：DH=FG．
∵DG∥BM，DH∥GM，
∴四边形DHMG是平行四边形．
∴∠DGM=∠DHM．
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，
又∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MGF=∠MHE．
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE．
∴∠DGF=∠DHE，
在△DHE与△FGD中，

DG＝HE ∠DGF＝∠DHE DH＝FG

∴△DHE≌△FGD（sas），
∴DE=DF．