Question

已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）=f（x

已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）=f（x）+mx-6，求当m为何值时，g（x）为偶函数；（3）若g（x）=f（x）+mx-6在[1，2]上最小值为h（m），试讨论h（m）-k=0的零点个数（k为常数）．

Answer 1

解答：解：（1）由不等式f（x）＜0的解集为（0，5）可知，f（x）=2x²+bx+c=0的解为0，5
根据方程的根与系数关系可得c=0，5=?

b

2

即b=-10，c=0
∴f（x）=2x²-10x．
（2）∵g（x）=f（x）+mx-6=2x²+（m-10）x-6，对称轴是x＝

m?10

4

．
若使得g（x）为偶函数，则对称轴为x=0
∴m=10
（3）∵g（x）=f（x）+mx-6=2x²+（m-10）x-6，对称轴是x＝

10?m

4

①当

10?m

4

＜1，即m＞6时，y=g（x）在x∈[1，2]上单调增，故h（m）=g（1）=m-14；
②当1≤

10?m

4

≤2，即2≤m≤6时，y=g（x）在x∈[1，2]先减后增，于是h(m)＝g(

m?10

4

)＝?

m2

8

+

5

2

m?

37

2

③当

10?m

4

＞2，即m＜2时，y=g（x）在x∈[1，2]上单调减，故h（m）=g（2）=2m-18．
综上所述，h(m)＝

m?14(m＞6) ? m2 8 + 5 2 m? 37 2 (2≤m≤6) 2m?18(m＜2)

（3）由题知，h（m）-k=0根的个数等价于函数y=h（m）与y=k两个图象公共点的个数，
由y=h（m）的解析式，可知y=h（m）在R上单调递增，
结合图象知，不论k为何值，方程h（m）-k=0总存在唯一的实数根．