Question

如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．（1）求证：DE=A

如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．（1）求证：DE=AF；（2）若⊙O的半径为 3 2 ，AB= 2 +1 ，求 AE ED 的值．

Answer 1

（1）证明：连接EP、FP，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°，∠BPA=90° ∴∠FPE=90°， ∴∠BPF=∠APE， 又∵∠FBP=∠PAE=45°， ∴△BPF≌△APE， ∴BF=AE， 而AB=AD， ∴DE=AF； （2）连EF， ∵∠BAD=90°， ∴EF为⊙O的直径， 而⊙O的半径为 3 2 ， ∴EF= 3 ， ∴AF 2 +AE 2 =EF 2 =（ 3 ） 2 =3①， 而DE=AF， DE 2 +AE 2 =3； 又∵AD=AE+ED=AB， ∴AE+ED= 2 +1 ②， 由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=1，ED= 2 或AE= 2 ，ED=1， 所以： AE ED = 2 2 或 AE ED = 2 ． 提示：（1）连接EF、EP、FP，可证明△AEP≌△BFP （2）设：AE=x，ED=AF=y 可得： x+y= 2 +1 和x 2 +y 2 =3， 解得x= 2 ，y=1或x=1，y= 2 ， 所以： AE ED = 2 2 或 AE ED = 2 ．