Question

如图已知抛物线y=ax 2 +bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线

如图已知抛物线y=ax 2 +bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（-2，0）．问：直线AC上是否存在点F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将点A（1，0）和点B（-3，0）代入抛物线解析式可得： a+b+3=0 9a-3b+3=0 ， 解得： a=-1 b=-2 ， 故所求抛物线解析式为：y=-x 2 -2x+3． （2）存在符合条件的点P， 设直线AC的解析式为y=kx+m， 将点A及点C的坐标代入可得： k+m=0 m=3 ， 解得： k=-3 m=3 ， 故直线AC的解析式为y=-3x+3， ①当PD=PO时，此时点P位于P 1 的位置，很明显P 1 的坐标为（-1，6）； ②当OD=OP时，此时点P的一个位置为P 2 ， 设P 2 的坐标为（x，-3x+3）， ∵OD=OP=2， ∴ x 2 +(-3x+3) 2 =2， 解得：x 1 = 18+ 31 10 ，x 2 = 18- 31 10 ， 很明显此时P的坐标为（ 18+ 31 10 ， -54- 31 10 ）或（ 18- 31 10 ， -54+3 31 10 ）． 综上可得点P的坐标为（-1，6）或（ 18+ 31 10 ， -54- 31 10 ）或（ 18- 31 10 ， -54+3 31 10 ）．