Question

以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.(1)请猜想四边形ADEF是什么

以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.(1)请猜想四边形ADEF是什么特殊四边形？并说明理由.(2)当△ABC满足条件___________时，四边形ADEF为矩形；(3) 当△ABC满足条件___________时，四边形ADEF不存在.

Answer 1

(1) 四边形ADEF是平行四边形，证明见解析； （2）∠BAC=150°； （3）∠BAC=60°．

试题分析：（1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形； （2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形； （3）根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在． 试题解析：（1）四边形ADEF是平行四边形； ∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠ABE，AB=BD，BC=BE． 在△ABC和△DBE中， ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）． ∴DE=AC． 又∵AC=AF， ∴DE=AF． 同理可得EF=AD． ∴四边形ADEF是平行四边形; （2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形， ∴∠FAD=90°． ∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°． 则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形； （3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°， 此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在． ．