Question

已知函数f（x）=ax2-2x+1（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若13≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值

已知函数f（x）=ax2-2x+1（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若13≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），求M（a）的表达式；（3）若13≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上为减函数…（2分）
当a＞0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为x＝

1

a

∴函数f（x）在(?∞，

1

a

)上为减函数，在(

1

a

，+∞)上为增函数…（4分）
当a＜0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向下，对称轴为x＝

1

a

∴函数f（x）在(?∞，

1

a

)上为增函数，在(

1

a

，+∞)上为减函数…（6分）
（2）∵f(x)＝a(x?

1

a

)2+1?

1

a

，又

1

3

≤a≤1，得1≤

1

a

≤3
当1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a-5，当2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

时，M（a）=f（1）=a-1，
∴M（a）=

a?1， 1 3 ≤a≤ 1 2 9a?5， 1 2 ＜a≤1

…（8分）
（3）∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3
∴N(a)＝f(

1

a

)＝1?

1

a

当

1

2

＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a-5，∴