Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD．（1）求证：CD是⊙O

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2 5 ，CD=2，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠OAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴AD ∥ OC， ∴∠ADC=∠OCF， ∵AD⊥DC， ∴∠ADC=90°， ∴∠OCF=90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°=∠ADC， ∵∠DAC=∠BAC， ∴△ADC ∽ △ACB， ∴ AC AB = AD AC ， 在Rt△ADC中，AC=2 5 ，CD=2， ∴AD=4， ∴ 2 5 AB = 4 2 5 ， ∴AB=5．