Question

已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=-716，且S1，S3，S2成等差，（Ⅰ）求数列{an}的通项

已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=-716，且S1，S3，S2成等差，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知bn=n（n∈N+），记Tn=|b1a1|+|b2a2|+|b3a3|+…+|bnan|，若（n-1）2≤m（Tn-n-1）对于n≥2，n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
∵S₁，S₃，S₂成等差，
∴2S₃=S₁+S₂，
∴2a1(1+q+q2)＝a1(2+q)，得2q²+q=0，q≠0，解得q＝?

1

2

．
又a₁+a₄=-

7

16

，a1+a1q3＝?

7

16

，∴a1[1+(?

1

2

)3]＝?

7

16

，解得a1＝?

1

2

，
∴an＝?

1

2

?(?

1

2

)n?1=(?

1

2

)n．
（Ⅱ）∵b_n=n，an＝(?

1

2

)n，∴

|bn|

|an|

=n?2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2Tn＝1×22+2×23+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2×(2n?1)

2?1

?n?2n+1=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2．
若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2，n∈N₊恒成立，则（n-1）²≤m[（n-1）?2ⁿ⁺¹+2-n-1]，
∴m≥

n?1

2n+1?1

对n≥2恒成立．
令f（n）=

n?1

2n+1?1

，f(n+1)?f(n)＝

n

2n+2?1

?

n?1

2n+1?1

=

(2?n)?2n+1?1

(2n+2?1)(2n+1?1)

＜0，
∴当n≥2时，f