Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；（2）求证：PC∥平面EBD；（3）求VP-ABCD．

Answer 1

（1）证明：∵PB⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PB⊥CD，
又由 CD⊥PD，PB∩PD=P
∴CD⊥平面PBD
又∵CD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面PBD；
（2）连接AC交BD于G，连接EG，

∴ AG GC ＝ AD BC ＝ 1 2 ，又 AE EP ＝ 1 2

，
∴

AG

GC

＝

AE

EP

∴PC∥DE
又∵PC?平面EBD，DE?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=3，
由（1）中BD⊥CD得BC=6
∴S_梯形ABCD=

27

2

PB⊥底面ABCD，PB=3
∴V_P-ABCD=

1

3

?PBS_梯形ABCD=

27

2