如图，在平面直角坐标系中，直线y＝?34x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，并
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝?34x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．（1）求该抛物线所对应的函数关...
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝?34x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P（x，y）是在第一象限内该抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．①试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；②当x=______时，P、C、O、N四点能围成平行四边形．（3）连接PC，在（2）的条件下，解答下列问题：①请用含x的式子表示线段BN的长度：BN=______；②若PC⊥BC，试求出此时点M的坐标．
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（1）由于直线y＝?
x+3经过B、C两点，令y=0得x=4；令x=0，得y=3，
故可得：B（4，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x2+bx+c上，于是得
，
解得：b=
，c=3，
∴所求函数关系式为y＝?x2+
x+3．
（2）①∵点P（x，y）在抛物线y＝?x2+
x+3上，且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，?x2+
x+3）同理可设点N的坐标为（x，?
x+3），
又∵点P在第一象限，
∴PN=PM-NM=（?x2+
x+3）-（?
x+3）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴当x=2时，
线段PN的长度的最大值为4．
②因为PN∥CO，要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，
由①得：PN=-x2+4x，故可得：-x2+4x=3，
解得：x=1或3．
（3）
①∵△BNM∽△BCO，
∴
=
，即
=
，
解得：BN=5?
x．
②由PC⊥BC得∠PCN=∠COB=90°，
又∵∠PNC=∠OCB（由PN∥OC得出），
∴△PCN∽△BOC，
∴
=
，即
=
| 3 |
| 4 |
故可得：B（4，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x2+bx+c上，于是得
|
解得：b=
| 13 |
| 4 |
∴所求函数关系式为y＝?x2+
| 13 |
| 4 |
（2）①∵点P（x，y）在抛物线y＝?x2+
| 13 |
| 4 |
∴设点P的坐标为（x，?x2+
| 13 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
又∵点P在第一象限，
∴PN=PM-NM=（?x2+
| 13 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴当x=2时，
线段PN的长度的最大值为4．
②因为PN∥CO，要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，
由①得：PN=-x2+4x，故可得：-x2+4x=3，
解得：x=1或3．
（3）
①∵△BNM∽△BCO，∴
| MN |
| OC |
| BN |
| BC |
?
| ||
| 3 |
| BN |
| 5 |
解得：BN=5?
| 5 |
| 4 |
②由PC⊥BC得∠PCN=∠COB=90°，
又∵∠PNC=∠OCB（由PN∥OC得出），
∴△PCN∽△BOC，
∴
| PN |
| BC |
| CN |
| OC |
| ?x2+4x |
| 5 |
