Question

如图所示，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．（1）猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并

如图所示，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．（1）猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；（2）∠DOB与∠GOC相等吗？为什么？

Answer 1

（1）∠BOC=90°+

1

2

∠BAC；  
理由：∵△ABC中，三条角平分线AD、BE、CF相交于点O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠BAC）=90°+

1

2

∠BAC；

（2）∠DOB与∠GOC．
理由：由（1）知∠AOB=90°+

1

2

∠ACB，
∴∠DOB=180°-∠AOB=180°-（90°+

1

2

∠ACB）=90°-

1

2

∠ACB，
又∵OC平分∠ACB，OG⊥BC，
∴∠GOC=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠DOB=∠GOC．即∠DOB与∠GOC相等．