Question

已知函数f（x）=x（1+a|x|），设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-12，12]?A，则a的取值范围

已知函数f（x）=x（1+a|x|），设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-12，12]?A，则a的取值范围是______．

Answer 1

解：函数f（x）=x（1+a|x|）=

ax2+x  ，x≥0 ?ax2+x  ，x＜0

，
关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-

1

2

，

1

2

]?A，
则在[-

1

2

，

1

2

]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方．
当a=0时，显然不满足条件．
当a＞0时，函数y=f（x+a）的图象是把函数y=f（x）的图象向左平移a个单位得到的，
结合图象（右上方）可得不满足函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象下方．
当a＜0时，如图所示，要使在[-

1

2

，

1

2

]上，函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象的下方，
只要f（-

1

2

+a）＜f（-

1

2

）即可，即-a (?

1

2

+a)2+（-

1

2

+a）＜-a(?

1

2

)2-

1

2

，
化简可得 a²-a-1＜0，解得

1? 5

2

＜a＜

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