Question

设函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调减区间是（1，2）且满足f（0）=1．（1）f（x）的解析式；（2）

设函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调减区间是（1，2）且满足f（0）=1．（1）f（x）的解析式；（2）若对任意的m∈（0，2]，关于x的不等式f(x)＜12m3?m?lnm?mt+3在x∈[2，+∞）时有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＞0），
f（0）=1?a²=1，又由a＞0，则a=1，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c．
∵f（x）的单调减区间是（1，2），
∴

f′(1)＝3+2b+c＝0 f′(2)＝12+4b+c＝0

，（3分）
∴b＝?

9

2

，c＝6．
∴f(x)＝x3?

9

2

x2+6x+1．（5分）
（2）由（1）得f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x∈[2，+∞）时，f'（x）≥0，
∴f（x）在[2，+∞）单调递增，
∴f（x）_min=f（2）=3．
要使关于x的不等式f(x)＜

1

2

m3?m?lnm?mt+3在x∈[2，+∞）时有解，
即

1

2

m3?m?lnm?mt+3＞f(x)min＝3，（7分）
即mt＜

1

2

m3?mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，
只需t＜

1

2

m2?lnm在m∈（0，2]恒成立．
设h(m)＝

1

2

m2?lnm，m∈（0，2]，
则t＜h（m）_min．（9分）
h′(m)＝m?

1

m

＝

(m?1)(m+1)

m

，
当m∈（0，2]时，h（m）在（0，1）上递减，在（1，2]上递增，
∴h(m)min＝h(1)＝

1

2

．
∴t＜

1

2

．（12分）